OPERACIONES CON FUNCIONES

Una de las partes importantes de las funciones, son las que conocemos como las operaciones entre funciones. Por ejemplo; si queremos sumar dos funciones, estas se parecen mucho a las operaciones con polinomios.  Mira veamos como sumar polinomios.

Para este proceso se pueden identificar dos pasos:

Pon juntos los términos similares

Suma los términos similares

Ejemplo: suma

2x² + 6x + 5     y     3x² – 2x – 1

Junta los términos similares:

2x² + 3x²     +     6x – 2x    +     5 – 1

Suma los términos similares:

(2+3)x²   +   (6-2)x   +   (3-1)

= 5x² + 4x + 4

Este proceso se efectúa de forma similar entre las funciones, en las que además se pueden realizar operaciones como:

LA SUMA   f + g](x) = f(x) + g(x)

LA RESTA f – g](x) = f(x) – g(x)

LA MULTIPLICACIÓN f (x)  * g(x) = (4×2+2) (x)

LA DIVISIÓN

Una función racional es el cociente de dos polinomios P(x) y Q(x)  que se expresa solo como una división.

Una parte que debemos recordar es la factorización de expresiones algebraicas para realizar una división e funciones, ya que estos procesos son precisamente algebraicos.

Como complemento te comparto esta pequeña presentación sobre las operaciones con funciones que es muy similar a lo que acabamos de decir.


“Es mejor ser rey de tu silencio que esclavo de tus palabras.”

William Shakespeare

CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES


¿POR QUÉ LAS FUNCIONES NO SON TODAS IGUALES?Tal vez el hecho de que fueran iguales nos ahorraría muchas confusiones con las operaciones o con las gráficas.La razón por la que no son iguales, es debido a que as situaciones cotidianas que se representan con ellas no son todas iguales, pueden ser de compras, de cambios de temperatura, de inversiones o de movimientos celestes.

Ya sabemos que clasificar las cosas como una colección tiene un propósito. Por ejemplo una población escolar puede subdividirse en alumnos y maestros.  Los deberes de cada uno  están delimitados. Pueden clasificarse incluso por géneros: hombres y mujeres con distintas finalidades. Cualquier clasificación tiene una razón,como las herramientas de construcción.

Las funciones se clasifican de diferentes maneras para diferentes propósitos, según su forma algebraica, por la simetría de su gráfica.

Establezcamos dos tipos de funciones: algebraicas  y trascendentes.

Las primeras como su nombre lo indica proviene del álgebra.  De hecho, cualquier ecuación  que sirva para representar a una función, de forma automática se colca en este grupo: polinomios, fracciones algebraicas, potencias y raíces.

Las funciones trascendentes  son cualquier función que no es algebraica: trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y especiales. Como lo muestra nuestro primer diagrama.

“Nunca he encontrado una persona tan ignorante que no se pueda aprender algo de ella.”

Galileo Galilei


REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

Estamos introduciendo el tema de las funciones y las formas en que estas peuden presentarse. A sí que definamos algunos detalles.

Una función es un objeto matemático que se utiliza para expresar la dependencia entre dos magnitudes, y puede presentarse a través de varios aspectos complementarios. Un ejemplo habitual de función numérica es la relación entre la posición y el tiempo en el movimiento de un cuerpo.Las funciones tienen su aplicación prácticamente en todos los ámbitos de nuestra vida, quizá no nos hayamos dado cuenta pero todo en nuestra vida está en relación o en función a otra cosa.

Asique una relación puede ser una función. Matemáticamente esta función tiene formas de representarse; muchas de ellas ya las conocemos.

Regla de correspondencia o expresión algebraica

Y = 2x + 1

Problema

La renta del teléfono es de $, y por cada minuto cobran $, ¿cuánto es el costo del teléfono al realizar x llamadas?

Diagramas

 

 

 

 

 

Tabla de valores

Costo Tiempo
50 1
100 2

Pares ordenados

(1,2) (2,4) (3,9)(4,16)

Gráfica.

En la siguiente presentación encontraras una serie de diapositivas que ilustran las representaciones de las funciones.

“Vive como si fueras a morir mañana. Aprende como si fueras a vivir siempre.”

Mahatma Gandhi

RELACIONES Y FUNCIONES

La idea de las funciones es muy variada por ejemplo, pensemos en el ciclo del agua.

Parece algo tan común, pero analizándolo matemáticamente es una relación en la que la cantidad de lluvia depende indudablemente de la cantidad de evaporación que hay en la atmósfera.

Te presentamos un sencillo fragmento de video que nos explica de una manera especial el ciclo del agua.

 En este tema  se  utilizan los criterios que definen a una función para establecer si una relación dada es funcional o no. A demás se describe una función empleando diferentes tipos de registros enfocándonos en la interpretación de conceptos como el  dominio y el rango.

 La idea de las funciones es muy variada por ejemplo, pensemos en el ciclo del agua. Parece algo tan común, pero analizándolo matemáticamente es una relación en la que la cantidad de lluvia depende indudablemente de la cantidad de evaporación que hay en la atmósfera.

En esta clase se  utiliza los criterios que definen a una función para establecer si una relación dada es funcional o no. A demás se describe una función empleando diferentes tipos de registros enfocándonos en la interpretación de conceptos como el  dominio y el rango.

  NOTA: Se debe de tener especial cuidado en distinguir entre ecuación y función; este es un error  que muy frecuentemente los estudiantes llegan a cometer, y que puede repercutir cuando se hace uso del cálculo diferencial e integral.

Existen diferentes tipos de expresiones algebraicas, sin embargo algunas de las expresiones que más nos interesa dentro de las matemáticas son las funciones.

          Una función es una regla de asociación que relaciona dos o mas conjuntos entre si; generalmente cuando tenemos la asociación dos conjuntos las función se define como una regla de asociación entre un conjunto llamado dominio con uno llamado codominio, también dominio e imagen respectivamente o dominio y rango. Esta regla de asociación no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del codominio.

        Definición de función que se ampara bajo una regla de asociación de elementos del dominio con elementos del codominio, imponiendo la restricción de relacionar un elemento del dominio con uno del codominio, sin importar  si los  elementos del codominio puedan estar relacionados con dos o mas del codominio.

Donde se dice que f : A – B  (f es una función de A en B, o f es una función que toma elementos del dominio A y los aplica sobre otro llamado codominio B)

Se dice que el dominio de una función son todos los valores que puede tomar el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado codominio, generalmente cuando se habla del plano, el dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje de las X´s y que nos generan una asociación en el eje de las Y´s.

El otro conjunto que interviene en la definición es el conjunto llamado codominio o rango de la función, en ocasiones llamado imagen, este conjunto es la gama de valores que puede tomar la función; en el caso del plano son todos los valores que puede tomar la función  o valores en el eje de las Y´s.

También, cuando se grafica en el plano cartesiano se tiene una relación de dos variables, considerando como variable aquella literal que esta sujeta a los valores que puede tomar la otra.

Presentamos el siguiente vídeo que nos permite repasar lo anterior.

“Se necesitan dos años para aprender a hablar y sesenta para aprender a callar.”
Paulo Coelho