APLICACIONES DE LAS FUNCIONES PERIÓDICAS

    Las funciones trigonométricas son ideales para modelar un comportamiento periódico. Veremos algunos ejemplos, sobre todo de física.

Intentemos identificar cuál de estas situaciones son posibles analizarlas a partir de una función periódica como las de seno y de coseno.

En la bahía de Cancún, la diferencia de la marea alta y la baja es de 5 m. para representar la profundidad del agua en cierto punto de la bahía donde t es el tiempo en horas que ha transcurrido luego de la media noche del día 24 de enero del 2012.

Un cuerpo vibratorio vertical tiene una ecuación que define su oscilar.

El desplazamiento de una masa se mide en centímetros y en segundos. Describir el movimiento de la masa.

 

 

 

Los astrónomos creen que la variación en brillantez de una estrella variable aumenta y disminuye con la brillantez de la estrella. La estrella variable Delta Cephie tiene un radio promedio de 20 millones de millas y cambia en un máximo de 1.5 millones de millas de este promedio durante una sola pulsación. Determinar la ecuación que describa el radio de esta estrella en función del tiempo.

Seguro somos capaces de identificar que cada una de las situaciones representar situaciones que se repiten, son cíclicas. De modo que estas son algunas de las aplicaciones de las funciones senoidales, de seno y de coseno.

Si la ecuación que describe al desplazamiento f(x) de un objeto en el tiempo t es

f(x) = a sen wt y f(x) = a cos wt

Entonces el objeto está sujeto a un movimiento armónico simple (MAS). En este caso:

Amplitud = │a│, es el desplazamiento máximo del objeto.

Periodo = , es el termino necesario para completar un ciclo.

Frecuencia = , es el número de ciclos por unidad de tiempo.

El siguiente video, publicado por florichichara el 17/11/2010 nos muestra algunas aplicaciones y sus gráficas.

“Para desembarcar en la isla de la sabiduría hay que navegar en un océano de aflicciones.”

Sócrates


FUNCIONES SENOIDALES y= A sen Bx + C, y = A cos Bx + C

El tema de las funciones senoidales refieren a periodos o ciclos que se repiten, ya puede ser una semana tras otra, el ciclo lunar, entre otras situaciones.

Las funciones más representativas de estos ciclos son la funcione de seno y de coseno en las que sus gráficas tiene ciertas características que conviene identificar para saber graficarlas.

Por ejemplo la función f(x) = sen x

  Estos elementos junto con el periodo o los ciclos, que son la oscilación completa de la onda.

También se encuentra la frecuencia, que es el número de veces que se completa un ciclo cada determinado tiempo.

Por ejemplo:

La función f(x) = 4 cos 3x

Tendrá una amplitud de 4 y un periodo de

Checa el segmento de este video. Todo es muy claro, nos dará una idea de lo que necesitamos para graficar una función de seno y de coseno en el minuto uno.


COMPRENDE LAS FUNCIONES SENOIDALES

    En la vida diaria existen muchos casos de comportamiento periódico, es decir, de comportamiento que se repite una y otra vez, cuando la variable es el tiempo. Situaciones como el movimiento de las manecillas del reloj, y las fases de la luna muestran un comportamiento periódico, o simplemente el día y la noche. Un movimiento periódico es aquel en que las posiciones del sistema se pueden expresar en base a las funciones periódicas, todas con el mismo periodo.

Otros ejemplos comunes de comportamiento periódico involucra al movimiento causado por la vibración y por la oscilación. Las ondas sonoras, las ondas luminosas, la corriente eléctrica alterna, las estrellas pulsantes, etcétera.

    Estas situaciones nos llevan a las funciones trigonométricas, que se han analizado en otros cursos.

Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo. Pero vayamos por partes.

Primero consideraremos triángulos rectángulos ABC, rectángulos en A, con <B = 60º y <C = 30º. Todos los triángulos que dibujemos con estos ángulos son semejantes, y, por ello, las medidas de sus lados proporcionales.

El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa.

El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo, en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.

El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa.

La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente.

La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto

La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto.

Estas relaciones son relacionadas al ángulo de referencia y las presentamos en una tabla para mejor acceso a estas funciones.

Las gráficas de estas funciones presentan la periodicidad de una situación. Por ejemplo, en el minuto 4:27 aproximadamente de este video dentamos que la grafica de la función seno es una curva que se repite en periodos.

“No nos atrevemos a muchas cosas porque son difíciles, pero son difíciles porque no nos atrevemos a hacerlas.”

Lucio Anneo Séneca


TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA.

El Teorema Fundamental del Algebra (TFA) dice que todo polinomio a coeficientes complejos tiene un raíz compleja, es decir existe un número complejo donde el polinomio evalúa a cero. Hay muchas demostraciones de este importante resultado. Todas requieren bastantes conocimientos matemáticos para formalizarlas, por ejemplo la división sintética, el teorema del factor incluso el teorema del residuo. Sin embargo, si se deja de lado algo del rigor matemático, hay argumentos simples y creíbles, que le permiten a uno convencerse de la veracidad del TFA.

Este teorema resulta de suma importancia dentro del estudio de las ecuaciones. Encontrar la solución de una ecuación representa encontrar todos los valores de x para los cuales la ecuación es cierta, a las que comúnmente le llamamos raíces de la ecuación, generalmente las soluciones que de manera inmediata nos interesan son los valores que existan en los reales, sin que con ello las soluciones complejas no sean interesantes.

La obtención de soluciones de una ecuación tiene un sentido gráfico que nos es de particular interés. En el caso particular en que las soluciones sean reales estas representan los puntos de intersección con el eje x.

Resumiendo la información anterior:

Sabemos que el teorema fundamental del algebra dice que teniendo un polinomio de grado c, sus soluciones serán la misma cantidad que indica n. Así el teorema nos indica que todo polinomio con coeficientes complejos se puede factorizar en puros factores lineales.

Esta presentación nos aporta datos interesante sobre este teorema y procesos.


“Lo poco que sé se lo debo a mi ignorancia.”
Platón

DIVISIÓN SINTÉTICA PARA UN POLINOMIO DE LA FORMA x – a

DIVISIÓN SINTÉTICA

El procedimiento de la división sintética es una simplificación de la división común o desarrollada.

La rapidez con la que se efectúa, la sencillez y la forma compactada del método son varia razones por las cuales la división sintética es tan usada y se ha convertido en una poderosa herramienta para el cálculo de factores.

Recordando la división común; en el que el proceso es de dividir cada termino y restar has encontrar que el residuo sea cero para definir un factor.

Si resolvemos esta división con la división sintética el proceso se simplifica solo usando números y coeficientes.


Fíjate que en el caso anterior se tomó el menos tres y se colocó positivo, luego se bajó el uno y este se multiplicó y e colocó en la segunda fila, la tercera fila es una suma de los valores obtenidos.

Observa en esta porción de video cómo se obtiene el cociente. A partir del minuto 1:33 podemos notar la obtención de un cociente cuando el residuo es cero.

“Buscando el bien de nuestros semejantes, encontramos el nuestro.”

Platón


FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

Nuestra idea se centra en identificar la forma de las funciones exponenciales. Sabemos que…


         … Las funciones exponenciales y logarítmicas tienen gran aplicación en campos muy diversos como la biología, la administración, la física, la química. Por ejemplo se usan para calcular el interés compuesto que utilizan la mayoría de los bancos.

Así por ejemplo, un contagio de una enfermedad tiene un crecimiento exponencial, esto es que en los mismos periodos de tiempo, el creciente es en un porcentaje igual.

     Plantearemos esto es la idea del contagio. Si una persona contagia a dos y estas dos, cada uno a otras dos, y estas, cada una a otras dos personas, en poco tiempo la enfermedad se habrá propagado. Esta situación responde a la forma de la ecuación.

Y = A bx

Entonces. Sea un número real positivo. La función que a cada número real le hace corresponder la potencia ase llama función exponencial de base a y exponente x.

Para nuestra situación de un contagio estaría dada por un expresión como esta f (x) = 2x con una grafica curva que asciende sin limite.


x    y = 2x

-3    1/8

-2    1/4

-1    1/2

0    1

1    2

2     4

Esa situación es muy clara sobre el creciente exponencial. el siguiente video nos ayuda a analizar un poco más el crecimiento exponencial y nos expone algunas situaciones de aplicación. Disfrútalo.

“La memoria del corazón elimina los malos recuerdos y magnifica los buenos, y gracias a ese artificio, logramos sobrellevar el pasado.”

Gabriel García Márquez


FUNCIONES RACIONALES Y LA EXISTENCIA DE POSIBLES ASÍNTOTAS.

Existen las funciones que son una división, las funciones racionales, que son la división de funciones polinomiales. Estas funciones tienen gráficas especiales que respetan a condiciones de división.


Por ejemplo la división de x/0, que es un número cualquiera entre cero no existe tal operación, ya que la división e indetermina. Tal cosa sucede con una función racional.

Del mismo modo las funciones racionales presentan las asíntotas, que son en matemáticas, una línea recta que se aproxima continuamente a otra función o curva; es decir que la distancia entre las dos tiende a cero, a medida que se extienden indefinidamente.

La siguiente presentación nos da una idea de los elementos que intervienen en una función racional y su gráfica.


Como podemos notar, hay distintos tipos de asíntotas en una función racional, _las verticales, las horizontales y las oblicuas; en donde cada una de ellas cambia la gráfica de la función.

Este video nos dejará más claro que papel juegan las asíntotas en una función racional y su gráfica.

“Para investigar la verdad es preciso dudar, en cuanto sea posible, de todas las cosas, una vez en la vida.”

René Descartes